Die statistische Auswertung mit R stellt für viele Studierende und Statistikneulinge eine Hürde dar. In diesem Artikel möchten wir einen Einblick in den Ablauf einer Datenauswertung mit R geben. Am Beispiel eines t-Tests werden die Syntax beschrieben, die Daten inspiziert und die Outputs interpretiert. Die Voraussetzungen zur Anwendung des parametrischen t-Tests werden mit dem Shapiro-Wilk-Test und dem Levene-Test geprüft.
Um eine gute Nachvollziehbarkeit zu ermöglichen, nutzen wir zur Auswertung die Daten nhtemp aus dem R-Paket datasets. Geladen wird dieses Paket mit folgendem Befehl:
library(datasets)
Eine erste Inspektion des Datenmaterials ist mit dem Befehl
nhtemp
möglich. Es handelt sich um eine Zeitreihe mit Datenpunkte auf metrischem Skalenniveau. Enthalten sind die durchschnittlichen Temperaturen in New Haven, Connecticut, im Zeitraum von 1912 bis 1971 (Einheit: Fahrenheit) der Jahre 1912 bis 1972.
Um den t-Test durchführen zu können wird die Zeitreihe zunächst in einen Vektor vom Typ numeric überführt:
Temperatur <- as.numeric(nhtemp)
Im weiteren Verlauf dieses Beitrags soll die Hypothese getestet werden, dass die durchschnittliche Temperatur in der zweiten Hälfte der Aufzeichnungen höher liegt als in der ersten Hälfte der Aufzeichnungen. Hierzu wird ein Vektor vom Typ factor angelegt. Dieser teilt die aufgezeichneten Daten in zwei Gruppen:
Zeitraum <- c(rep("Gruppe 1", 30), rep("Gruppe 2", 30))
Grundsätzlich kann es zielführend sein, die Durchführung einer statistischen Auswertung in zwei Abschnitte aufzuteilen: Die deskriptive Statistik und die Inferenzstatistik. In der deskriptiven Statistik werden in Abhängigkeit vom Skalenniveau und die sogenannten statistischen Momente zur Charakterisierung der Stichprobe dargestellt. Zu den wichtigsten Kennwerten gehören die Standardabweichung, der Median, Mittelwert, Minimum und Maximum sowie die Häufigkeiten. R beinhaltet zur Berechnung eine Reihe nützlicher Funktionen.
Im Folgenden werden die statistischen Kennzahlen beider Gruppen berechnet. Mit dem Befehl subset lassen sich Gruppe 1 und Gruppe 2 auswählen. Hierbei bezeichnet min den niedrigsten Wert (Minimum), max den höchsten Wert (Maximum), mean den Mittelwert (arithmetisches Mittel) und sd die Standardabweichung.
min(subset(Temperatur, Zeitraum=="Gruppe 1")) max(subset(Temperatur, Zeitraum=="Gruppe 1")) mean(subset(Temperatur, Zeitraum=="Gruppe 1")) sd(subset(Temperatur, Zeitraum=="Gruppe 1")) min(subset(Temperatur, Zeitraum=="Gruppe 2")) max(subset(Temperatur, Zeitraum=="Gruppe 2")) mean(subset(Temperatur, Zeitraum=="Gruppe 2")) sd(subset(Temperatur, Zeitraum=="Gruppe 2"))
Der folgende Output enthält einige dieser Werte. In vielen Fällen kann es sinnvoll sein, zusätzlich zur Standardabweichung den Variationskoeffizienten zu bestimmen. Dies geschieht durch Normierung der Standardabweichung am Mittelwert.t. Er ermöglicht beispielsweise einen Vergleich der Streuungen über Gruppen mit unterschiedlichen (physikalischen) Dimensionen hinweg.
Im Rahmen der Inferenzstatistik erfolgt die statistische Testung des formulierten Hypothesenpaars. Das Hypothesenpaar besteht aus einer H0 und einer H1. Auf der Grundlagen der gemachten Beobachtungen (oder Messungen) werden die Hypothesen auf ihre Gültigkeit getestet. Genauer gesagt gilt es zu prüfen, ob die H0 auf der Grundlage der gemachten Beobachtungen abgelehnt werden kann. Ist dies der Fall, so kann die H1 angenommen werden. Hierbei kann es sowohl vorkommen, dass die H0 fälschlicherweise angenommen, als auch dass die H0 fälschlicherweise abgelehnt wird. Neben der Signifikanz spielt aus diesem Grunde auch die Güte eine wichtige Rolle bei der Hypothesentestung.
Ein wesentlicher Faktor für die Qualität und Belastbarkeit einer statistischen Auswertung ist die Auswahl des richtigen Tests. Nahezu alle statistischen Tests setzen bestimmte Bedingungen und Annahmen voraus. Im vorliegenden Fall sollen die durchschnittlichen Jahrestemperaturen zwischen zwei Gruppen verglichen werden. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass es sich um unabhängige Messungen handelt. In diesem Fall stellt der t-Test für unabhängige Stichproben einen möglichen Weg dar, die Hypothesentestung durchzuführen.
Der t-Test hat jedoch verschiedene Voraussetzungen, die zu seiner Anwendung erfüllt sein müssen. Hierzu gehören die Normalverteilung innerhalb der Gruppen sowie Varianzhomogenität (auch Homoskedastizität) zwischen den Gruppen.
Die folgenden Histogramme zeigen die Verteilung der Daten innerhalb der jeweiligen Gruppen. Eine ideale Normalverteilung würde in etwa der sogenannten Gauß-Glocke entsprechen. Dies ist hier nicht gänzlich der Fall. Die Verteilungen sind dem Anschein nach teils asymmertrisch. Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes kann jedoch bei der Durchführung eines t-Tests ab einer Gruppengröße von n = 30 das Normalverteilungsmerkmal häufig nachrangig betrachtet werden, sofern keine groben Verletzungen von Verteilungsannahmen vorliegen.
Weiteren Aufschluss hierüber liefert der Shapiro-Wilk-Test. Die Gruppengröße beträgt jeweils n = 30.
Die Outputs geben den Wert der Teststatistik (W) sowie den zugehörigen p-Wert an. Sofern sich kein signifikantes Ergebnis findet (p kleiner 0.05), kann gemäß Shapiro-Wilk-Test das Vorliegen von Normalverteilung angenommen werden. Als nichtparametrische Alternative ist ein Mann-Whitney-U-Test möglich. Dieser ist jedoch nicht vollständig frei von Annahmen, zum Beispiel würde hier eine Gleichverteilung vorausgesetzt.
Eine weitere Voraussetzung zur Anwendung des parametrischen t-Tests ist das Vorliegen von Varianzhomogenität in den zu vergleichenden Gruppen. Ein Vergleich der Standardabweichungen der Gruppen gibt einen ersten Anhaltspunkt dafür, ob Varianzhomogenität vorliegen kann. Eine Möglichkeit der statistischen Testung auf Varianzhomogenität bietet der Levene-Test. Für die hier geprüften Daten liegt Varianzhomogenität vor.
Ausgegeben werden die Freiheitsgrade der Testung (Df), der Wert der Teststatistik (F) und der p-Wert (Pr(>F)). Auch beim Levene-Test gelten p-Werte > 0.05 als unkritisch.
Mit dem t-Test werden die Mittelwerte beider Gruppen miteinander verglichen und auf einen signifikanten Unterschied hin betrachtet. R bietet eine Vielzahl an Varianten und Anpassungsmöglichkeiten. Hierzu gehört auch die Anpassung des t-Tests an das Fehlen von Varianzhomogenität (Welch-Test). Auch lässt sich eine Testung für gepaarte Stichproben (verbundene Stichproben) umsetzten. Die folgenden Befehle führen den t-Test mit unterschiedlichen Modifikationen aus:
t.test(Temperatur~Zeitraum) t.test(Temperatur~Zeitraum, var.qual=FALSE) t.test(Temperatur~Zeitraum, paired=TRUE)
Hier wird die erste Variante gewählt. Nach Ausführen des Befehls meldet R den unten zu sehende Output zurück.
Ausgegeben werden der Wert der Teststatistik (t), die Freiheitsgrade (df), der p-Wert (p-value), das 95-Prozent-Kofidenzintervall und die Mittelwerte der verglichenen Gruppen. Mit dem hier ausgewiesenen p-Wert findet sich ein signifikanter Gruppenunterschied.
Wie bereits weiter oben geschildert, ist die Hypothesentestung mit der Durchführung des Signifikanztests nicht vollständig abgeschlossen. Da sich ein signifikantes Ergebnis findet, ist zusätzlich ein Maß der Güte zu bestimmen. In diesem Fall bietet sich Cohens d an. Dieser Parameter kann in R mit dem folgenden Befehl errechnet werden:
cohens.d(Temperatur~Zeitraum)
Der ausgegeben Wert beträgt d = 1.198. Dies spricht für einen starken Effekt. Die H0 kann also zugunsten der formulierten H1 abgelehnt werden. Die durchschnittlichen Jahrestemperaturen liegen in der zweiten Gruppe signifikant über den Temperaturen der ersten Gruppe
Runge StatistikLineare Regression
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